\input{../preambules/preDM.tex}

\begin{document}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}

\chead{Devoir maison n°14}
\lfoot{}
\cfoot{Suites, \'Etude de fonctions}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Devoir maison n°14}
\end{center}
\vspace{10pt}

\section*{Exercice 1}
On se propose d'étudier la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 0$ et par la relation de récurrence :
$$
\forall n \in \N, u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 +1}{2}.
$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On montre par récurrence les propositions  $\P_n : \{ 0 \leq u_n \leq 1 \}$.
\begin{itemize}
\item[\bf Initialisation :] D'après l'énoncé $u_0 = 0$, donc $\P_0$ est vraie. 
\item[\bf Hérédité :] On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain $n \geq 0$. On a donc 
\begin{align*}
0 \leq u_n \leq 1 & \Longrightarrow 0 \leq u_n^2 \leq 1 \\
& \Longrightarrow  1 \leq u_n^2 + 1 \leq 2 \\
& \Longrightarrow \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{u_n^2 +1}{2} \leq \dfrac{2}{2} \\
& \Longrightarrow 0 \leq u_{n+1} \leq 1
\end{align*}
La proposition $\P_{n+1}$ est donc vraie, $(\P_n)$ est héréditaire. 
\item[\bf Conclusion :] \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. }
\end{itemize} 
\item Pour tout $n \in \N$, 
\begin{align*}
u_{n+1} - u_n & = \dfrac{u_n^2 +1}{2} - u_n \\
& = \dfrac{u_n^2 - 2u_n +1}{2} \\
& = \dfrac{(u_n - 1)^2}{2} \geq 0
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante. }
\end{center}
\item La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante et majorée par $1$. On en déduit par le théorème de convergence monotone que \begin{center}
\fbox{La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est convergente.}
\end{center} 
On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. On a alors nécessairement
\begin{align*}
\ell = \dfrac{\ell^2 +1}{2} & \Longleftrightarrow 2\ell = \ell^2 + 1 \\
& \Longleftrightarrow  \ell^2 - 2 \ell + 1 = 0 \\
& \Longleftrightarrow  (\ell - 1)^2 = 0 \\
& \Longleftrightarrow \ell = 1
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Ainsi $\li_{n \to + \infty} u_n = 1$}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Pour tout $n \in \N$, on pose $v_n = 1 - u_n$. 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $k \in \N$, on a 
\begin{align*}
v_k  - v_{k+1} & = 1 - u_k - (1 - u_{k+1}) \\
& = u_{k+1} - u_k \\
& = \dfrac{u_k^2 + 1}{2} - \dfrac{2u_k}{2} \\
& = \dfrac{(u_k-1)^2}{2}  \\
& = \dfrac{(-v_k)^2}{2}  \\
\end{align*} 
\begin{center}
\fbox{On a donc $v_k - v_{k+1} = \dfrac{v_k^2}{2}$}
\end{center}
\item En reconnaissant une somme télescopique, 
\begin{align*}
\ds \sum_{k=0}^n (v_k - v_{k+1})  = v_0 - v_{n+1}
\end{align*}
\item On a $\li_{ n \to + \infty} v_n = \li_{n \to +\infty} 1 - u_n = 0$. La série de terme général $v_n - v_{n+1}$ est convergente et 
$$
\forall n \in \N, v_n^2 = 2 (v_n - v_{n+1})
$$
Ainsi la série de terme général $v_n^2$ est convergent et 
\begin{center}
\fbox{$\ds \sum_{n=0}^{+ \infty} v_n^2 = 2 (v_0 - 0) = 2$. }
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\section*{Exercice 2}{Espaces Vectoriels}
\begin{enumerate}
\item On cherche $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \R$ tels que 
\begin{align*}
 \lambda_1 \vect{0}{1}{1} + \lambda_2 \vect{2}{0}{-1} + \lambda_3 \vect{2}{1}{1} = \vect{4}{-1}{1} & \Longleftrightarrow  \begin{cases}
2 \lambda_2 + 2 \lambda_3 &= 4 \\
\lambda_1 + \lambda_3 &  = -1 \\
\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 & = 1
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow  \begin{cases}
2 \lambda_2 + 2 \lambda_3 &= 4 \\
\lambda_1 + \lambda_3 &  = -1 \\
\lambda_2 & = -2 \quad L_3 \leftarrow L_2 - L_3
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow  \begin{cases}
 2 \lambda_3 &= 8 \\
 \lambda_1 &  = -1 - \lambda_3 \\
\lambda_2 & = -2 
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow  \begin{cases}
  \lambda_3 &= 4 \\
 \lambda_1 &  = -5 \\
\lambda_2 & = -2 
\end{cases}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Le vecteur est bien combinaison linéaire des 3 autres vecteurs. }
\end{center}
\item On montre que $F = \left\{ \vect{x}{y}{z} \in \M_{3,1}(\R) | -x + 2y +z=0 \; \text{et} \; y + 3z = 2x \right\}$ est un espace vectoriel. On a 
\begin{itemize}
\item On a $F \subset \M_{3,1}(\R)$. 
\item On a $-0 + 2 \times 0 + 0 = 0$ et $ 0 + 3 \times 0 = 2 \times 0$ donc $\vect{0}{0}{0} \in F$. 
\item Soient $X = \vect{x_1}{x_2}{x_3} \in F$, $Y = \vect{y_1}{y_2}{y_3} \in F$ et $\lambda \in \R$. On a donc les équations suivantes.  
$$
-x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \quad \text{et} \quad x_2 + 3 x_3 = 2 x_1
$$
$$
-y_1 + 2y_2 + y_3 = 0 \quad \text{et} \quad y_2 + 3 y_3 = 2 y_1
$$
Or $\lambda X + Y = \vect{\lambda x_1 + y_1}{\lambda x_2 + y_2}{\lambda x_3 + y_3}$. On calcule alors 
\begin{align*}
- (\lambda x_1 + y_1) + 2 (\lambda x_2 + y_2) + (\lambda x_3 + y_3)& = - \lambda x_1 - y_1 + 2\lambda x_2 + 2y_2 + \lambda x_3 + y_3 \\
& = \lambda ( -x_1 + 2x_2 + x_3) + (-y_1 + 2y_2 + y_3) \\
& = 0
\end{align*}
et 
\begin{align*}
\lambda x_2 + y_2 + 3(\lambda x_3 + y_3) & = \lambda (x_2 + 3x_3) + (y_2 + 3 y_3) \\
& = \lambda \times 2x_1 +  2 y_1 \\
& = 2 (\lambda x_1 + y_1) 
\end{align*}
On a donc $\lambda X + Y \in F$. 
\begin{center}
\fbox{$F$ est un sous espace vectoriel de $\M_{3,1}(\R)$.}
\end{center} 
\end{itemize}
\item Dans $M_{3,1} (\R)$ on considère les vecteurs : $u = \vect{0}{1}{1}$, $v = \vect{2}{0}{-1}$ et $w = \vect{2}{1}{1}$. 
\begin{enumerate}
\item On montre que $(u,v,w)$ est une famille libre de $\M_{3,1}(\R)$. Soient $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \R$, tels que 
\begin{align*}
\lambda_1 u + \lambda_2 v + \lambda_3 w = 0 \; & \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
\qquad  2 \lambda_2 + 2 \lambda_3 & = 0 \\
\lambda_1 + \qquad  \lambda_3 & = 0 \\
\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 & = 0 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 & = 0 \\
\lambda_1 + \qquad  \lambda_3 & = 0 \quad L_1 \leftrightarrow L_3\\
\qquad 2 \lambda_2 + 2 \lambda_3  & = 0 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 & = 0 \\
\qquad \qquad \quad \lambda_2 & = 0 \quad L_2 \leftrightarrow L_2 - L_1\\
\qquad 2 \lambda_2 + 2 \lambda_3  & = 0 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \; \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0.
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{La famille $(u,v,w)$ est une famille libre de $\M_{3,1}(\R)$.}
\end{center}
On montre désormais que $(u,v,w)$ est une famille génératrice de $\M_{3,1}(\R)$. Soit $X = \vect{x}{y}{z} \in \M_{3,1}(\R)$, on cherche $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ tels que 
\begin{align*}
\lambda_1 u + \lambda_2 v + \lambda_3 w = X \; & \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
\qquad  2 \lambda_2 + 2 \lambda_3 & = x \\
\lambda_1 + \qquad  \lambda_3 & = y \\
\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 & = z 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 & = z \\
\lambda_1 + \qquad  \lambda_3 & = y \quad L_1 \leftrightarrow L_3\\
\qquad 2 \lambda_2 + 2 \lambda_3  & = x 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 & = z \\
\qquad \qquad \quad \lambda_2 & = y-z \quad L_2 \leftrightarrow L_2 - L_1\\
\qquad 2 \lambda_2 + 2 \lambda_3  & = x 
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
\lambda_1 - \lambda_2 + \lambda_3 & = z \\
\qquad \qquad \quad \lambda_2 & = y-z  \\
\qquad \qquad \quad  \lambda_3  & = \dfrac{1}{2} x - y + z  
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
 \lambda_1 & = z + y - z - \left( \dfrac{1}{2}x - y +z \right) \\
 \lambda_2 & = y-z  \\
 \lambda_3  & = \dfrac{1}{2} x - y + z  
\end{cases} \\
& \Longleftrightarrow \; \begin{cases}
 \lambda_1 & = - \dfrac{1}{2}x + 2y - z  \\
 \lambda_2 & = y-z  \\
 \lambda_3 & = \dfrac{1}{2} x - y + z  
\end{cases} 
\end{align*}
On a donc $X = \left( - \dfrac{1}{2}x + 2y - z \right) u + (y-z) v + \left( \dfrac{1}{2} x - y + z \right) w$. \begin{center}
\fbox{La famille $(u,v,w)$ est une famille génératrice de $\M_{3,1}(\R)$. }
\end{center}
\item On cherche $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ pour $X = \vect{4}{-1}{1}$ et donc
\begin{center}
\fbox{$
\lambda_1 = -2 - 2 - 1 = -5, \quad \lambda_2 = -2, \quad \lambda_3 = 4
$}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3}
On va remontrer dans cet exercice que $\ds \sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est divergente sans utiliser les séries de Riemann. 
\begin{enumerate}
\item On note la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x}$. On a alors
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[k; k+1]$
\item Pour tout $x \in [k ; k+1]$, $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{k}}$
\end{itemize}
D'après l'inégalité des accroissements finies 
\begin{center}
\fbox{$
\forall k \geq 1, \quad  (\sqrt{k+1} - \sqrt{k} ) \leq \dfrac{1}{2\sqrt{k}} \Longleftrightarrow 2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} ) \leq \dfrac{1}{\sqrt{k}}
$}
\end{center}
\item En prenant la somme de chaque côté, on a 
 $$\ds \sum_{k=1}^n 2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k} )  \leq \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}} .$$
 En reconnaissant une somme télescopique, on obtient
\begin{center}
\fbox{ $
 \ds 2\sqrt{n+1} - 2 \leq  \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}} .
 $}
\end{center}
\item On a alors $\li_{n \to + \infty} 2\sqrt{n+1} - 2 = + \infty$. 
\begin{center}
\fbox{Par comparaison la série $\sum_{n \geq 1}$ est divergente. }
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4}
Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme (pour $k \in \N$ fixé et $x \in \R$):
\begin{enumerate}
\item La série $\displaystyle \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{n(n-1)}{6^{n-2}}$ est un série géométrique dérivée convergente (car $\dfrac{1}{6} < 1$). La série $\ds \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{n(n-1)}{6^n}$ est donc convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{n(n-1)}{6^n} = \dfrac{1}{36} \times \dfrac{2}{\left(1 - \frac{1}{6} \right)^3} = \dfrac{2 \times 6}{5^3} = \dfrac{12}{125}
$}
\end{center}
\item En passant par les sommes partielles 
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k}{2^k} = \sum_{k=0}^{n-1} \left(- \dfrac{1}{2} \right)^{k+1} = \dfrac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \left(- \dfrac{1}{2} \right)^{k}
\end{align*}
La série $\ds \sum_{n \geq 0} \left( -\dfrac{1}{2} \right)^n$ est une série géométrique convergente (car $-1 < -1/2 < 1$). La série $\displaystyle  \sum\limits_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{2^n}$ est donc convergente et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n =1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2^n} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{1 -(-\frac{1}{2})} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{3}
$}
\end{center}
\item En passant par les sommes partielles 
\begin{align*}
\sum_{k=2}^n k (-1)^k x^{k-2} = \sum_{k=1}^{n-1} k (-x)^{k-2} - (-x)^{-1} = -\dfrac{1}{x}  \sum_{k=1}^{n-1} k (-x)^{k-1} + \dfrac{1}{x}
\end{align*}
La série $\ds \sum_{n \geq 1} n (-x)^{n-1}$ est une série géométrique convergente si et seulement si $-1 < x < 1$. $\forall x \in ]-1;1[$, la série $\displaystyle  \sum\limits_{n \geqslant 2} n(-1)^n x^{n-2}$ est \uline{convergente} et 
\begin{center}
\fbox{$
\ds \sum_{n =2}^{+\infty} n(-1)^n x^{n-2} = - \dfrac{1}{x} \times \dfrac{1}{(1-(-x))^2} + \dfrac{1}{x} = - \dfrac{1}{x(1+x)^2} + \dfrac{1}{x}
$}
\end{center}
Sinon la série est \uline{divergente}. 
\end{enumerate}


\end{document}